长春大学成人高考（函授）车辆工程专业中《高等数学》课程教学大纲

总学时：74   自学学时：50   面授学时：24 适用专业：车辆工程（专升本）

一、课程性质和教学目标

《高等数学》课程是理工科、管理学科等成人各专业本科生必修的一门重要公共基础课。通过本课程的学习，使学生系统地掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的科学探索精神、创新精神，提高综合素质。为学生后续课程的学习和在今后工作中进一步深造打下坚实的数学基础。

二、课程教学内容和基本要求

（一）函数、极限、连续

教学内容和基本要求

1.基本内容

函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数。

数列极限与函数极限的定义及其性质；无穷小和无穷大的概念及其关系；极限的运算法则；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限。

函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。

2.基本要求

理解函数的概念。了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。理解复合函数、分段函数，了解反函数及隐函数的概念，会建立简单实际问题中的函数关系式。掌握基本初等函数的性质及其图形。掌握极限的四则运算法则及复合函数的极限运算法则。了解极限存在的两个准则。会用两个重要极限求极限。理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，会判别函数间断点的类型。了解初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

（二）一元函数微分学

教学内容和基本要求

 1. 基本内容

导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数；导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；高阶导数的概念；微分在近似计算中的应用；微分中值定理；洛必达（L’Hospital）法则；函数的极值；函数的单调性；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数图形的描绘；函数的最大值和最小值。

2.基本要求

理解函数的导数的概念，理解导数的几何意义和物理意义。会用导数描述一些物理量。会求平面曲线的切线方程和法线方程。理解函数的微分的概念，理解导数与微分的关系，理解函数的可导性和连续性之间关系。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数微分，了解微分在近似计算中的应用。会求隐函数和由参数方程所确定函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

（三）一元函数积分学

教学内容和基本要求

1. 基本内容

原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；定积分的概念和基本性质；变（上）限定积分定义的函数及其导数；牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibnis）公式；不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数的积分；三角函数式化为有理函数和简单无理函数的积分；反常积分；定积分元素法；定积分在几何上的应用；定积分在物理学上的应用；原函数。

2.基本要求

理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。熟练掌握不定积分的基本公式及换元积分法和分部积分法。会求有理函数，三角函数式化为有理函数和简单无理函数的积分。理解定积分的概念和几何意义，理解变上限定积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

教学重点、难点：

重点：换元积分法、分部积分法、有理函数积分法；牛顿—莱布尼兹公式；积分上限的函数及其导数；定积分在几何学上的应用。

（四）向量代数和空间解析几何

教学内容和基本要求

1. 基本内容

向量的概念；向量的线性运算；向量的数量积和向量积；向量的混合积；两向量垂直；平行的条件；两向量夹角；向量的坐标表达式及其运算；单位向量；方向角与方向余弦；曲面方程和空间曲线方程的概念；平面方程；直线方程；平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件；点到平面和点到直线的距离；球面；母线平行于坐标轴的柱面；旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程。

2.基本要求

掌握向量的加减、数乘、数量积、向量积的定义，了解混合积的定义、熟练运用向量的坐标进行向量运算和表达向量的模、方向余弦、与已知向量同向的单位向量、以及向量间的平行或垂直的条件。熟练掌握并会建立各种形式的平面方程和直线方程。

（五）多元函数微分学

教学内容和基本要求

1. 基本内容

多元函数微分学

多元函数的概念；二元函数的几何意义；二元函数的极限和连续的概念；有界闭区域上多元连续函数的性质；多元函数偏导数和全微分；全微分存在的必要条件和充分条件；多元复合函数、隐函数的求导法；高阶偏导数；方向导数和梯度；空间曲线的切线和法平面；曲面的切平面和法线；二元函数的泰勒公式；多元函数极值和条件极值；拉格朗日乘数法；多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

2.基本要求

理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的术法。会求由一个方程及由方程组所确定的隐函数的一阶偏导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。理解二元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

（六）多元函数积分学

教学内容和基本要求

1. 基本内容

二重积分、三重积分的概念及性质；二重积分与三重积分的计算和应用；两类曲线积分的概念、性质及计算；两类曲线积分的联系；格林（Green）公式；曲线积分与路径无关的条件。

2.基本要求

理解二重积分、了解三重积分的概念。了解重积分的性质。

（七）无穷级数

教学内容和基本要求

1. 基本内容

常数项级数的收敛与发散的概念；收敛级数的和的概念；级数的基本性质与收敛的必要条件；几何级数与P—级数及其收敛性；正项级数收敛性的判别法；交错级数与莱布尼茨定理；任意项级数的绝对收敛与条件收敛；函数项级数的收敛域与和函数的概念；幂级数及其收敛半径；收敛区间和收敛域；幂级数的和函数；幂级数在其收敛区间内的基本性质。

2.基本要求

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。知道无穷级数的基本性质。掌握无穷级数收敛的必要条件。掌握几何级数与P一级数收敛与发散的条件。掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法及根值审敛法。掌握交错级数的莱布尼兹判别法，能估计交错级数的误差。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，知道绝对收敛与收敛的关系。

（八）微分方程

教学内容和基本要求

1. 基本内容

常微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；伯努利（Bernoulli）方程；全微分方程。

2.基本要求

知道微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。掌握变量可分离方程及一阶线性微分方程的解法。会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程。

三、学时分配表